quarta-feira, 29 de setembro de 2010

MATEMÁTICA I-GEO

Exercícios resolvidos usando a Relação de Euler

1) (FAAP - SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.

Resolução:

De acordo com o enunciado, temos:
A = V + 6

Usando a Relação de Euler e substituindo A de acordo com a igualdade acima:

V + F = 2 + A
V + F = 2 + V + 6

Eliminando V:

F = 8

O número de faces é igual a 8.

2) (Fatec - SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro?

Resolução:

Do enunciado, sabemos que
Número de faces: 3 + 2 + 4 = 9

Número de arestas:
3 faces com 4 lados: 3 . 4 = 12
2 faces com 3 lados: 2 . 3 = 6
4 faces com 5 lados: 4 . 5 = 20
Somando: 12 + 6 + 20 = 38

Atenção: as faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Ao contarmos todas as arestas de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes, uma para cada face "grudada" nela. Assim, esse número, na verdade, é o dobro do número real de arestas do poliedro. Logo: 

A = 38 ÷ 2 = 19.

Usando, agora, a Relação de Euler, temos:

V + F = 2 + A
V + 9 = 2 + 19
V = 21 - 9 = 12.

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Professor de matemática,física e química.Aulas do ensino fundamental ao ensino médio Atendimento de segunda (das 9hs as 21hs) a sábado (das 9hs as até 12horas).

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